Exercice Corrige Type Brevet Sur Les Fonctions Affine Et Lineaire

Exercice Corrigé Type Brevet Sur Les Fonctions Affine Et Linéaires

Salut à tous les matheux ! Aujourd’hui, on va s’attaquer à un exercice corrigé de type brevet sur les fonctions affines et linéaires. C’est un sujet important qui revient souvent dans les contrôles et les examens, alors autant bien le maîtriser.

Définitions et Propriétés

Commençons par rappeler quelques définitions et propriétés essentielles.

• Une fonction affine est une fonction qui peut être représentée sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes.
• Une fonction linéaire est une fonction affine dont le coefficient a est égal à 1.
• Les fonctions affines et linéaires sont des fonctions du premier degré, ce qui signifie qu’elles peuvent être représentées par une droite sur un graphique.
• Les fonctions affines et linéaires sont continues et dérivables sur leur domaine de définition.

Équation d’une Droite

L’équation d’une droite peut être écrite sous différentes formes, mais la plus courante est l’équation réduite, qui s’écrit sous la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur de la droite et p est l’ordonnée à l’origine.

Coefficient Directeur

Le coefficient directeur d’une droite est égal à la pente de la droite. Il est calculé en divisant la différence entre les ordonnées de deux points de la droite par la différence entre leurs abscisses.

Ordonnée à l'Origine

L’ordonnée à l’origine d’une droite est le point où la droite coupe l’axe des y. Elle est calculée en remplaçant x par 0 dans l’équation de la droite.

Exemples

Voici quelques exemples de fonctions affines et linéaires :

• f(x) = 2x + 3 est une fonction affine.
• g(x) = x – 5 est une fonction linéaire.
• h(x) = 3x^2 + 2x + 1 n’est ni une fonction affine ni une fonction linéaire.

Problèmes et Solutions

Maintenant, essayons de résoudre quelques problèmes liés aux fonctions affines et linéaires.

Problème 1

Soit la fonction f(x) = 2x – 3. Quelle est l’image de 5 par f ?

Solution :

Pour trouver l’image de 5 par f, il suffit de remplacer x par 5 dans l’équation de la fonction :

f(5) = 2(5) – 3 = 10 – 3 = 7

Donc l’image de 5 par f est 7.

Problème 2

Soit la droite d’équation y = 3x + 2. Quel est le coefficient directeur de cette droite ?

Solution :

Le coefficient directeur d’une droite est égal à la pente de la droite. Le coefficient directeur de la droite d’équation y = 3x + 2 est donc 3.

Conclusion

Voilà, c’était un petit tour d’horizon des fonctions affines et linéaires. J’espère que cet article vous a été utile. Si vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser dans les commentaires.

Et n’oubliez pas, l’entraînement est la clé du succès en mathématiques ! Alors continuez à vous entraîner et vous maîtriserez bientôt parfaitement les fonctions affines et linéaires.

Exercice Corrigé Type Brevet Sur Les Fonctions Affine Et Linéaire

Points importants :

• Fonction affine : f(x) = ax + b
• Fonction linéaire : f(x) = x + b
• Droite : y = mx + p

Ces points sont essentiels pour comprendre et résoudre les exercices sur les fonctions affines et linéaires.

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui peut être représentée sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes. Les fonctions affines sont des fonctions du premier degré, ce qui signifie qu’elles peuvent être représentées par une droite sur un graphique.

• Coefficient directeur (a) :

  Le coefficient directeur d’une fonction affine est le nombre qui multiplie x. Il détermine la pente de la droite qui représente la fonction. Si a est positif, la droite monte. Si a est négatif, la droite descend. Si a est égal à 0, la droite est horizontale.

• Ordonnée à l’origine (b) :

  L’ordonnée à l’origine d’une fonction affine est le point où la droite qui représente la fonction coupe l’axe des y. Elle est égale à la valeur de f(0).

Les fonctions affines sont utilisées dans de nombreux domaines, notamment en économie, en physique et en informatique. Par exemple, une fonction affine peut être utilisée pour modéliser le coût d’un produit en fonction de la quantité produite, ou la distance parcourue par un objet en fonction du temps.

Exemple :

Considérons la fonction affine f(x) = 2x + 3.

• Le coefficient directeur de cette fonction est 2, ce qui signifie que la droite qui la représente monte.
• L’ordonnée à l’origine de cette fonction est 3, ce qui signifie que la droite qui la représente coupe l’axe des y au point (0, 3).

On peut représenter cette fonction graphiquement en traçant la droite qui passe par les points (0, 3) et (1, 5). La droite monte car le coefficient directeur est positif.

Propriétés des fonctions affines :

• Les fonctions affines sont continues et dérivables sur leur domaine de définition.
• Les fonctions affines sont des fonctions du premier degré, ce qui signifie qu’elles peuvent être représentées par une droite sur un graphique.
• Les fonctions affines ont une pente constante, qui est égale au coefficient directeur de la droite qui les représente.
• Les fonctions affines ont une ordonnée à l’origine, qui est égale à la valeur de la fonction lorsque x est égal à 0.

Fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction affine dont le coefficient directeur est égal à 1. Cela signifie que la droite qui représente une fonction linéaire passe par l’origine (0, 0). Les fonctions linéaires sont des fonctions du premier degré, ce qui signifie qu’elles peuvent être représentées par une droite sur un graphique.

L’équation d’une fonction linéaire peut être écrite sous la forme f(x) = x + b, où b est l’ordonnée à l’origine de la fonction.

Propriétés des fonctions linéaires :

• Les fonctions linéaires sont continues et dérivables sur leur domaine de définition.
• Les fonctions linéaires sont des fonctions du premier degré, ce qui signifie qu’elles peuvent être représentées par une droite sur un graphique.
• Les fonctions linéaires ont une pente constante, qui est égale à 1.
• Les fonctions linéaires ont une ordonnée à l’origine, qui est égale à la valeur de la fonction lorsque x est égal à 0.

Exemple :

Considérons la fonction linéaire f(x) = x + 2.

• Le coefficient directeur de cette fonction est 1, ce qui signifie que la droite qui la représente a une pente de 1.
• L’ordonnée à l’origine de cette fonction est 2, ce qui signifie que la droite qui la représente coupe l’axe des y au point (0, 2).

On peut représenter cette fonction graphiquement en traçant la droite qui passe par les points (0, 2) et (1, 3). La droite monte car le coefficient directeur est positif.

Applications des fonctions linéaires :

Les fonctions linéaires sont utilisées dans de nombreux domaines, notamment en économie, en physique et en informatique.

• En économie, les fonctions linéaires sont utilisées pour modéliser le coût d’un produit en fonction de la quantité produite, ou le profit d’une entreprise en fonction du nombre de produits vendus.
• En physique, les fonctions linéaires sont utilisées pour modéliser la distance parcourue par un objet en fonction du temps, ou la vitesse d’un objet en fonction de son accélération.
• En informatique, les fonctions linéaires sont utilisées pour modéliser le temps d’exécution d’un algorithme en fonction de la taille de l’entrée, ou la quantité de mémoire utilisée par un programme en fonction du nombre de variables qu’il utilise.

Les fonctions linéaires sont des fonctions simples à comprendre et à utiliser. Elles sont donc très utiles dans de nombreux domaines différents.

Droite

Une droite est une courbe plane qui s’étend à l’infini dans les deux sens. Elle est définie par deux points distincts, ou par une équation.

L’équation d’une droite peut être écrite sous différentes formes, mais la plus courante est l’équation réduite, qui s’écrit sous la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur de la droite et p est l’ordonnée à l’origine.

• Coefficient directeur (m) :

  Le coefficient directeur d’une droite est le nombre qui multiplie x dans l’équation de la droite. Il détermine la pente de la droite. Si m est positif, la droite monte. Si m est négatif, la droite descend. Si m est égal à 0, la droite est horizontale.

• Ordonnée à l’origine (p) :

  L’ordonnée à l’origine d’une droite est le point où la droite coupe l’axe des y. Elle est égale à la valeur de y lorsque x est égal à 0.

On peut représenter une droite graphiquement en traçant la droite qui passe par deux points distincts, ou en utilisant l’équation de la droite pour tracer des points et relier les points entre eux.

Exemple :

Considérons la droite d’équation y = 2x + 3.

• Le coefficient directeur de cette droite est 2, ce qui signifie que la droite monte.
• L’ordonnée à l’origine de cette droite est 3, ce qui signifie que la droite coupe l’axe des y au point (0, 3).

On peut représenter cette droite graphiquement en traçant la droite qui passe par les points (0, 3) et (1, 5). La droite monte car le coefficient directeur est positif.

Propriétés des droites :

• Les droites sont des courbes planes qui s’étendent à l’infini dans les deux sens.
• Les droites peuvent être représentées par une équation, sous la forme y = mx + p.
• Les droites ont une pente, qui est égale au coefficient directeur de la droite.
• Les droites ont une ordonnée à l’origine, qui est égale à la valeur de y lorsque x est égal à 0.

Les droites sont des objets mathématiques simples, mais elles sont très utiles dans de nombreux domaines, notamment en géométrie, en physique et en informatique.