Les K Algèbres De Type Fini Sont De Jacobson

Les K Algèbres De Type Fini Sont De Jacobson

Les K-algèbres de type fini sont de Jacobson. Ce théorème est un résultat fondamental en algèbre qui a de nombreuses applications. Dans cet article, nous allons explorer ce théorème et ses implications.

Soit K un corps commutatif et A une K-algèbre de type fini. Cela signifie qu’il existe un ensemble fini de générateurs x₁, …, x_n tel que A est engendré par ces éléments. En d’autres termes, tout élément de A peut être écrit comme une combinaison linéaire de x₁, …, x_n.

Propriétés des K-algèbres de type fini

1. Les K-algèbres de type fini sont des anneaux commutatifs

C’est une conséquence directe de la définition. En effet, si A est engendré par un ensemble fini de générateurs, alors il est clair que A est commutatif.

2. Les K-algèbres de type fini sont des algèbres simples

Cela signifie que A ne possède aucun idéal bilatère non trivial. En d’autres termes, les seuls idéaux bilatéraux de A sont {0} et A lui-même.

3. Les K-algèbres de type fini sont des algèbres centrales simples

Cela signifie que A est une algèbre simple qui est également centrale dans son anneau d’endomorphismes. En d’autres termes, le centre de l’anneau d’endomorphismes de A est égal à K.

Problèmes liés aux K-algèbres de type fini

Il existe de nombreux problèmes ouverts liés aux K-algèbres de type fini. L’un des problèmes les plus célèbres est le problème de l’anneau de Jacobson. Ce problème demande si tout anneau de Jacobson est une K-algèbre de type fini.

Un autre problème ouvert est le problème de la représentation des algèbres centrales simples. Ce problème demande si toute algèbre centrale simple est isomorphe à une K-algèbre de type fini.

Exemples de K-algèbres de type fini

Voici quelques exemples de K-algèbres de type fini :

• L’anneau des polynômes en n variables sur un corps K.
• L’anneau des matrices carrées d’ordre n sur un corps K.
• L’algèbre des quaternions.
• L’algèbre des octonions.

Conclusion

Les K-algèbres de type fini sont des objets mathématiques importants qui ont de nombreuses applications. Le théorème de Jacobson est un résultat fondamental qui nous dit que toutes les K-algèbres de type fini sont de Jacobson. Ce théorème a de nombreuses implications et a été utilisé pour résoudre de nombreux problèmes importants en algèbre.

Les K Algèbres De Type Fini Sont De Jacobson

Propriété importante :

• Anneaux commutatifs

Les K-algèbres de type fini sont des anneaux commutatifs. Cela signifie qu’elles sont dotées d’une opération de multiplication commutative, c’est-à-dire que pour tous éléments a et b de A, on a a * b = b * a.

Anneaux commutatifs

Un anneau commutatif est un anneau dans lequel l’opération de multiplication est commutative, c’est-à-dire que pour tous éléments a et b de l’anneau, on a a * b = b * a.

Les K-algèbres de type fini sont des anneaux commutatifs car elles sont engendrées par un ensemble fini de générateurs et la multiplication des polynômes est commutative.

Voici quelques exemples d’anneaux commutatifs :

• L’anneau des entiers
• L’anneau des polynômes en une variable sur un corps
• L’anneau des matrices carrées d’ordre n sur un corps
• L’anneau des quaternions

Les anneaux commutatifs ont de nombreuses propriétés intéressantes. Par exemple, ils sont des domaines intègres, ce qui signifie qu’ils ne possèdent pas de diviseurs de zéro. Cela signifie que si a et b sont deux éléments d’un anneau commutatif et que a * b = 0, alors a = 0 ou b = 0.

Les anneaux commutatifs sont également des anneaux factoriels, ce qui signifie qu’ils peuvent être factorisés en éléments premiers. Cela signifie que tout élément non nul d’un anneau commutatif peut être écrit comme un produit d’éléments premiers.

Les anneaux commutatifs sont des objets mathématiques importants qui ont de nombreuses applications en algèbre, en géométrie et en analyse.